МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И Т.Д.
№44. Арифметика на выборах
В стране N прошли выборы президента. На пост главы государства претендовало несколько кандидатов. Также можно было голосовать против всех кандидатов. По законам этой страны для победы в первом туре кандидат должен набрать 50 процентов голосов избирателей, пришедших на выборы, плюс 1 голос.
За год до выборов рейтинг кандидата от партии власти составлял некое целое число процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции был равен этому же числу процентов, но взятому от суммы рейтингов всех кандидатов, кроме кандидата от партии власти.
Каждый месяц рейтинги двух главных кандидатов менялись: рейтинг кандидата от партии власти терял по n процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции прибавлял по m процентов. Непосредственно перед голосованием рейтинг кандидата от партии власти был меньше рейтинга главного кандидата от оппозиции на 2 процента, а суммарный рейтинг двух основных кандидатов стал больше на 3 процента или на 2/3nm процентов. И такими были итоговые результаты выборов.
На выборы пришло ровно 1000000 человек. Победитель не был определён в первом туре, но известно, что если бы все избиратели, отдавшие свои голоса не за двух основных кандидатов, кроме тех граждан, которые голосовали против всех, проголосовали бы за главного кандидата от оппозиции, он бы смог набрать минимальное число голосов, позволяющее ему одержать победу в первом туре. Сколько избирателей проголосовало против всех?
№45. Закупка хлеба
Одна столовая закупила в продуктовом магазине партию свежего хлеба. В этом магазине батон белого хлеба стоит на 10 рублей дороже буханки чёрного хлеба. Было куплено столько батонов белого хлеба, сколько рублей стоит буханка чёрного хлеба, а также столько буханок чёрного хлеба, сколько рублей стоит батон белого хлеба.
Представитель столовой расплатился двумя купюрами, получив сдачу размером в 2 рубля. Сколько было куплено батонов белого хлеба и буханок чёрного хлеба, если известно, что в кошельке у покупателя не было ни одной десятирублёвой купюры?
№47. Степенной код
Один учитель математики в школе написал на доске пять чисел и поставил знак вопроса:
1, 32, 729, 64, 625, ?
После этого он сказал ученикам:
– Я поставлю пятёрку в четверти тому, кто сможет сказать, какое число должно стоять на шестом месте.
Какое же число должно быть написано на доске вместо знака вопроса?
Примечание: существует два решения.
№48. Найти седьмое число
Дана последовательность, заданная по определённому правилу. Нам известны первые шесть чисел:
4, 6, 12, 16, 15, 17, ...
Чему равно следующее число? По какому правилу задана эта последовательность?
Подсказка: правило, по которому задана эта последовательность, можно описать двумя ключевыми словами: «куб» и «буквы».
№49. Объём спортзала
Школьный спортзал имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Если перевести его габариты в метры, то получится, что эти величины будут являться целыми числами, а разность куба отношения длины к ширине и квадрата этого же отношения равна высоте, которая вдвое меньше суммы длины и ширины. Чему может быть равен минимальный объём этого спортзала?
№50. Переворачивая числа
На калькуляторе можно набрать числа, которые обладают таким свойством, что если перевернуть экран устройства, то вновь можно будет прочитать некое число. Сколько можно набрать подобных целых неотрицательных чисел на стандартном калькуляторе с экраном, вмещающим 8 цифр?
Примечание: имеется в виду, что если перевернуть "600", то число прочитать не получится, т.е. запись "009" нельзя прочитать как "9".
№51. Одно слово меняет расклады
Представьте себе лотерею со следующими условиями. В мешке лежит 15 бочонков. Каждый бочонок имеет номер: 1, 2, 3, ... , 15. Каждый номер соответствует номеру сейфовой ячейки, в одной из которых лежит ключ от квартиры. Игрок должен вытянуть 2 бочонка из 15. Перед этим ведущий говорит игроку: «Вы можете открыть ячейки, имеющие те же номера, что и на бочонках, которые Вы сейчас вытяните из мешка».
Хитрый игрок вытащил из мешка 2 бочонка, посмотрел на номера на них и сказал ведущему: «Я могу заменить одно слово в той фразе, которую Вы мне сказали перед тем, как я вытянул эти бочонки, и этим увеличить шансы выиграть квартиру с 2/15 до 9/15».
Сколько возможных пар бочонков он мог вытащить?
№52. Триллион из четырёх цифр
В одном магазине электроники устроили акцию. Можно приобрести новую модель смартфона по цене со скидкой в 25 процентов, если назвать цену устройства без скидки. На коробке со смартфоном нет ценника, но есть текст с подсказкой следующего содержания: "цена данного товара в рублях равна сумме всех четырёхзначных чисел, сумма цифр которых при возведении в степень, равную произведению этих же цифр, равна одному триллиону".
Один покупатель назвал это значение и получил смартфон со скидкой. Какую сумму он заплатил на кассе?
№53. Смена пароля
Один математик зарегистрировался на форуме любителей головоломок. Он сделал паролем для авторизации на портале число, полученное по следующим правилам. Во-первых, в записи числа присутствовали только две различные цифры. Во-вторых, число было составлено двумя последовательными натуральными числами, записанными подряд в порядке возрастания без запятой и пробелов. При этом можно было взять сумму этих двух чисел, их произведение, отношение большего числа к меньшему, после чего перемножить эти три величины, извлечь из полученного значения квадратный корень и получить в итоге целое число.
Число, полученное таким образом математиком, являлось минимальным с подобными свойствами, принимая во внимание тот факт, что на форуме нельзя было использовать пароли с количеством символов менее четырёх. Но вскоре администрация форума увеличила минимальное количество символов для паролей, и математику пришлось менять свой пароль. Он взял число, полученное по точно таким же правилам, как и в первый раз, но только ближайшее большее. Только в этот он раз решил сделать паролем не само число, а сумму этого числа и числа, которое он использовал в качестве пароля в первый раз.
Какое число использовал в качестве пароля математик во второй раз?
№54. Игры с числом N
В одном натуральном числе N убрали первую цифру и получили число, в котором m цифр, среди которых нет ни одной повторяющейся, и если цифры нового числа расположить в порядке возрастания или убывания, то каждый член такой последовательности, кроме первого, будет отличаться от предыдущего на единицу.
Затем к первоначальному числу N приписали в начало такую же цифру, которая стояла на первой позиции в числе N. Созданное таким способом новое число умножили на число N и опять получили число с точно такими же свойствами, как и число, полученное в первый раз, только теперь число цифр в новом числе равнялось m .
Чему равно число N?