№21. Шахматная доска неопределённого размера
Имеется шахматная доска размером n*n клеток, и каждая клетка имеет порядковый номер от 1 до n . Генератор случайных натуральных чисел от 1 до n выбирает один из номеров, и на клетку с этим номером ставится пешка. После этого операция повторяется: аналогично случайным образом выбирается клетка, на которую ставится вторая пешка. Если два раза выбирается одна и та же клетка, то на одну клетку ставятся обе пешки.
Какова вероятность того, что после этого две пешки будут находиться под ударом друг друга (две пешки на одной клетке не относятся к этому случаю)?
№22. Кафе-пекарня
В одном кафе-пекарне продают пироги с разной начинкой и по разным двузначным ценам. Как-то раз посетитель, который готовился к праздничному застолью, захотел купить a пирогов с картошкой по цене b*b рублей, b пирогов с мясом по цене c*c рублей, c пирогов с луком и яйцами по цене a*a рублей. Всего он набрал пирогов на трёхзначную сумму.
Когда он подошёл к кассе, то обнаружил, что в его кошельке есть только купюры, минимальный номинал которых равен 50 рублям. Расплатившись, он получил от кассира сдачу в один рубль.
Сколько всего пирогов было куплено, если известно, что если бы посетитель взял на один пирог с мясом меньше, то он бы мог расплатиться на кассе ровно двумя купюрами без сдачи?
№25. Смартфон
Невнимательный покупатель пришёл в магазин, чтобы купить смартфон. Он выбрал нужную ему модель и подошёл к кассе, расплатившись за покупку только купюрами по 1000 и 50 рублей, поскольку других в кошельке у него не было. Но он так торопился, что всё перепутал: отдал столько тысячерублёвых купюр, сколько должен был отдать пятидесятирублёвых, и наоборот, в результате чего заплатил больше, чем надо. Кассир тоже не сразу обнаружил ошибку, но когда покупатель уже уходил, он остановил его и вернул переплаченную сумму. Если к этой сумме добавить ещё 50 рублей, то она составит половину от реальной стоимости аппарата.
Сколько стоил смартфон, если известно, что рассеянный покупатель никогда не носил в кошельке более 100 купюр?
№29. Случайный лифт
Представим себе ситуацию, что мы находимся в необычном многоэтажном доме, где нет лестниц, а лифт работает по странному принципу. Если вызвать лифт с любого этажа, то невозможно определить, на каком этаже он находится в данный момент, поскольку на всех этажах отсутствует табло индикации (есть только кнопка вызова). В кабине лифта есть только кнопки "вверх" или "вниз", при нажатии на которые мы, соответственно, либо поднимаемся на случайное количество этажей, либо спускаемся на случайное количество этажей. Если мы находимся на первом этаже, то при нажатии на кнопку "вниз" двери не закроются. То же самое произойдёт при нажатии на кнопку "вверх" на последнем этаже. Известно также, что лифт передвигается с постоянной скоростью.
Необходимо выйти из этого лифта на любом (n-ом) этаже и определить, на каком этаже мы находимся. При этом необходимо учесть следующие условия:
1) Выходить из кабины лифта можно только один раз - на n-ом этаже.
2) Нельзя ни у кого в доме ничего спрашивать.
3) При открытии дверей лифта видна только "голая" стена: без окон, без номера этажа, без дверей квартир, без номеров почтовых ящиков и без прочей информации, которая хоть как-то бы могла подсказать номер этажа. Как бы мы ни пытались высунуть голову из кабины лифта, не покидая её, мы увидим только "голую" стену.
Каким образом можно определить, на каком этаже мы находимся?
№26. Межшкольная олимпиада
В 2016 году в одном городе состоялась межшкольная олимпиада по комбинаторике. Она прошла в шесть туров. Первый тур проходил 2 мая, второй - 11 мая, третий - 31 июля, четвёртый - 18 августа, пятый - 7 ноября.
Когда прошёл шестой тур, учитывая, что все даты связаны некой закономерностью?
№28. Бильярд и ставки
Два игрока в бильярд (Бывалый и Новичок) играют друг с другом несколько партий до пяти побед. Ничейный исход в партии невозможен. Перед каждой партией зрители делают ставки по 1000 рублей на победу того или другого игрока.
Коэффициенты на победу каждого игрока меняются после каждой партии. Они зависят от результатов предыдущих партий. Если на данный момент счёт по партиям ничейный (0:0, 1:1 и т.д.), то коэффициенты на победу игроков в следующей партии равные, причём равны они 2. Если же на данный момент кто-то кого-то опережает, то коэффициенты на победу меняются с шагом 0,2 за одно очко отрыва (в меньшую сторону для того, кто опережает, и в большую сторону для того, кто отстаёт).
В целом, как меняются коэффициенты можно увидеть в таблице ниже. Горизонтальные цифры от 0 до 4 означают количество партий, в которых игрок победил, вертикальные – количество партий, в которых игрок проиграл. На пересечении получаем коэффициент на его победу в следующей партии.
0 1 2 3 4
0 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2
1 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4
2 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6
3 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8
4 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0
Например, на данный момент счёт 3:1 в пользу Бывалого. Значит, коэффициент на его победу в следующей партии будет равен 1,6. Счёт 3:1 в пользу Бывалого означает, что Новичок проигрывает со счётом 1:3. Значит, коэффициент на победу Новичка в следующей партии будет равен 2,4. Таким образом, вместо 1000 рублей можно получить 1600 либо 2400.
Какую максимальную сумму можно выиграть, пока Бывалый и Новичок будут играть до пяти побед? Каким будет выигрыш, если Бывалый и Новичок будут играть до m побед, шаг изменения коэффициентов будет равен 1/m, а все остальные условия задачи останутся прежними?
№31. Последовательность с неизвестными цифрами
Даны четыре числа некой последовательности с неизвестными цифрами:
1*89, 8*1, 5*4, 4*0, ?
Известно, что между соседними числами этой последовательности примерно одинаковое соотношение.
Какое число должно стоять на месте знака вопроса, учитывая, что каждая звёздочка закрывает одну цифру?
№33. Необычное расписание
Круглосуточные автобусы, следующие по одному маршруту, прибывают на остановку по странному расписанию: они подъезжают к станции только в такие моменты, когда на электронных часах появляются хотя бы три одинаковые цифры. Руководство автобусного парка решило исправить эту ситуацию. Теперь автобусы, идущие по этому маршруту, за сутки прибывают на остановку на один раз чаще, и между их прибытием одинаковый промежуток времени. Какой?
№35. Лирическое отступление на уроке информатики
Как-то раз на уроке информатики преподаватель решил дать отдохнуть ученикам после тяжёлой контрольной и предложил им разгадать головоломку. Он написал на доске следующий набор букв:
РНФТ ПЙШ ВОФНПТ – ВЕЩЫ ПЙШ ВОПНГТ
После чего заявил, что здесь зашифрована пословица. При этом учитель добавил, что разгадку к шифру можно найти прямо в кабинете информатики.
Какая пословица зашифрована в надписи на доске?
№38. Девять карт и два конверта
Представьте, что Вам предложено принять участие в игре со следующими правилами. Есть девять игральных карт одной масти от шестёрки до туза, а также два конверта: синий и зелёный. Каждая карта "стоит" определённое количество очков, равное её номиналу ("валет" равен 11 очкам, "дама" - 12, "король" - 13, "туз" - 14).
Ведущий перемешивает карты и делит их случайным образом на две группы по четыре и пять карт соответственно, а затем кладёт их в конверты. Вы выбираете конверт, не зная, сколько там карт, и достаёте оттуда наугад одну карту. Вы выбрали синий конверт и достали оттуда десятку, то есть Вы заработали 10 очков.
Теперь в игру вступает Ваш оппонент: он тоже должен вытащить карту, но уже обязательно из другого конверта. Соответственно, он должен вытащить карту из зелёного конверта. Если он наберёт больше очков, чем Вы, то он выиграет, если меньше - то выиграете Вы. Улучшит или ухудшит, вероятнее всего, имеющийся результат Ваш оппонент, если известно, что после вынимания Вами карты из синего конверта, в нём лежат хотя бы три карты с последовательными номиналами, а также известно, что в каждом конверте есть пара карт с номиналами, отличающимися друг от друга в два раза?
№34. Электронные часы
Задача в стиле "данетки".
В магазине техники продаются настольные электронные часы. Человек, возвращавшийся вечером с работы, увидел их на витрине и заметил, что одни из них показывают время "11:36". Продавец сказал, что все часы, которые находятся на витрине, исправны и показывают реальное время. А часы, на которые обратил внимание посетитель, показывают время по необычной системе. По какой же системе они работают?
№39. Листы, конверты, два стола
На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.
Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.
Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?
№40. Вопреки ожиданиям букмекеров
В чемпионате страны по футболу состоялся очередной матч. Явный фаворит и лидер лиги принимал на своём поле середняка первенства. Одна букмекерская контора перед матчем определила следующие коэффициенты на возможные исходы игры:
Победа фаворита – 1,25
Ничья – 2,00
Победа середняка – 2,50
По правилам букмекеров коэффициенты обновляются в онлайн-режиме каждые 10 минут игры до конца 80-ой минуты включительно, после чего по истечении следующей минуты оканчивается приём ставок (при этом добавленное время к первому тайму не учитывается). Обновление коэффициентов происходит по следующей схеме. По истечению каждых десяти минут игры коэффициент на тот исход, который на текущий момент отражён на табло, уменьшается на 0,1, а коэффициенты на другие исходы матча увеличиваются на 0,05. Таким образом, если в течение первых десяти минут игры счёт не открыт, то после окончания 10-ой минуты коэффициенты станут следующими:
Победа фаворита – 1,30
Ничья – 1,90
Победа середняка – 2,55
Также существует ещё один нюанс. Когда какая-нибудь команда забивает гол, то от текущего (на данную минуту) коэффициента на победу этой команды отнимается величина, равная остатку основного времени игры (округлённого до целого числа минут в меньшую сторону), делённому на 100. В то же время эта же величина прибавляется к текущему коэффициенту на победу команды, пропустившей гол. Текущий коэффициент на ничью в этот момент не меняется.
Также по правилам этой букмекерской конторы минимально возможное значение коэффициентов равно 1,05. Ниже этого показателя они не падают, то есть в случае достижения этого показателя, коэффициенты "замораживаются". Если после забитого гола получается коэффициент, меньший 1,05, то его значение принимается равным 1,05.
Середняк, вопреки первоначальным прогнозам и ожиданиям, забил единственный в этой игре гол. Это произошло до окончания приёма ставок. На какой минуте это случилось, если на момент окончания приёма ставок коэффициент на победу фаворита был больше, чем коэффициент на победу середняка на 0,6, а коэффициент на ничью равнялся 1,95?