Шахматная доска неопределённого размера
Имеется шахматная доска размером n*n клеток, и каждая клетка имеет порядковый номер от 1 до n . Генератор случайных натуральных чисел от 1 до n выбирает один из номеров, и на клетку с этим номером ставится пешка. После этого операция повторяется: аналогично случайным образом выбирается клетка, на которую ставится вторая пешка. Если два раза выбирается одна и та же клетка, то на одну клетку ставятся обе пешки.
Какова вероятность того, что после этого две пешки будут находиться под ударом друг друга (две пешки на одной клетке не относятся к этому случаю)?
Решение: Для начала представим классическую шахматную доску размером 8*8 клеток. Каждая цифра ниже обозначает конкретную клетку и количество других клеток, находящихся под ударом пешки, которая стоит на данной клетке.
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
1 2 2 2 2 2 2 1
0 0 0 0 0 0 0 0
Всего получится 98 вариантов расположения пешек, при которых они будут находиться под ударом друг друга. Это число складывается таким образом:
2*(8 - 1)*(8 - 2) + 2*(8 - 1) = 98
Для общего случая и стороной доски в n клеток это выражение будет выглядеть так:
2(n - 1)(n - 2) + 2(n - 1) = 2(n - 1)(n - 2 + 1) = 2(n - 1)
Общее количество расположений двух пешек равно n , а искомая вероятность составит:
2(n - 1) / n
Ответ: 2(n - 1) / n