ЗАДАЧИ НА ВЕРОЯТНОСТИ И КОМБИНАТОРИКУ
№3. Арифметическая лотерея
Представьте, что Вы участвуете в необычной лотерее. Правила её заключаются в том, что в мешке находится 90 шаров с разными номерами (от 1 до 90), и Вам необходимо вытащить случайным образом два из них. Необычность лотереи состоит в том, что для того, чтобы выиграть приз, Вам надо вытащить из мешка такие два шара, произведение номеров которых меньше 1000, а также является кубом какого-нибудь целого числа.
Какова вероятность победы в такой лотерее?
№7. Комбинаторная лотерея
Представьте, что Вы являетесь участником следующей лотереи. В мешке находится 100 пронумерованных шаров. Нумерация шаров такая: 00, 01, 02, ... , 98, 99. Вы наугад достаёте из мешка пять шаров. Если на этих пяти шарах окажутся все 10 цифр, то Вы выиграете приз.
Сколько всего существует выигрышных комбинаций?
Примечание: под комбинацией понимается пятёрка шаров, то есть одни и те же пять шаров, вытащенные в другой последовательности - это одна комбинация.
№18. Пятёрки и вероятность
Представим себе такой эксперимент с целыми числами. Случайным образом выбирается двузначное число, которое затем умножают на 10, а далее прибавляют к полученному результату пятёрку. Назовём эту сумму числом A. Затем к числу A приписывают пятёрку в начало и получают четырёхзначное число B. Если число B кратно числу A, то эксперимент считается удачным.
Данный эксперимент повторяют столько раз, сколько единиц в двузначном числе, выбранном случайно в первый раз. Если, например, в первый раз было выбрано число 52, то эксперимент повторяют ещё два раза. При этом не имеет значения, был ли первый эксперимент удачным: всё равно даются дополнительные попытки.
Какова вероятность того, что эксперимент повторят ровно пять раз, и ровно две из пяти дополнительных попыток будут удачными?
Дайте ответ с округлением до тысячных долей процента.
№21. Шахматная доска неопределённого размера
Имеется шахматная доска размером n*n клеток, и каждая клетка имеет порядковый номер от 1 до n . Генератор случайных натуральных чисел от 1 до n выбирает один из номеров, и на клетку с этим номером ставится пешка. После этого операция повторяется: аналогично случайным образом выбирается клетка, на которую ставится вторая пешка. Если два раза выбирается одна и та же клетка, то на одну клетку ставятся обе пешки.
Какова вероятность того, что после этого две пешки будут находиться под ударом друг друга (две пешки на одной клетке не относятся к этому случаю)?
№38. Девять карт и два конверта
Представьте, что Вам предложено принять участие в игре со следующими правилами. Есть девять игральных карт одной масти от шестёрки до туза, а также два конверта: синий и зелёный. Каждая карта "стоит" определённое количество очков, равное её номиналу ("валет" равен 11 очкам, "дама" - 12, "король" - 13, "туз" - 14).
Ведущий перемешивает карты и делит их случайным образом на две группы по четыре и пять карт соответственно, а затем кладёт их в конверты. Вы выбираете конверт, не зная, сколько там карт, и достаёте оттуда наугад одну карту. Вы выбрали синий конверт и достали оттуда десятку, то есть Вы заработали 10 очков.
Теперь в игру вступает Ваш оппонент: он тоже должен вытащить карту, но уже обязательно из другого конверта. Соответственно, он должен вытащить карту из зелёного конверта. Если он наберёт больше очков, чем Вы, то он выиграет, если меньше - то выиграете Вы. Улучшит или ухудшит, вероятнее всего, имеющийся результат Ваш оппонент, если известно, что после вынимания Вами карты из синего конверта, в нём лежат хотя бы три карты с последовательными номиналами, а также известно, что в каждом конверте есть пара карт с номиналами, отличающимися друг от друга в два раза?
№39. Листы, конверты, два стола
На двух столах (X и Y) лежат запечатанные конверты. Внутри каждого конверта находится один лист цветной (жёлтой или красной) бумаги, сложенный вчетверо. На столе X лежат 6 конвертов, в пяти из которых находятся жёлтые листы, а в одном – красный. А на столе Y лежат 4 конверта: в одном – жёлтый лист, в остальных трёх – красные.
Вскоре кто-то берёт с каждого стола по 3 конверта наугад (не зная, какого цвета листы внутри) и меняет их местами, т.е. те конверты, которые лежали на столе X, теперь лежат на столе Y, и наоборот. Причём их количество на каждом из столов не изменилось: 6 и 4 соответственно.
Какова вероятность того, что теперь на столе Y лежат 2 конверта с жёлтым листом и 2 – с красным?