Пятёрки и вероятность
Представим себе такой эксперимент с целыми числами. Случайным образом выбирается двузначное число, которое затем умножают на 10, а далее прибавляют к полученному результату пятёрку. Назовём эту сумму числом A. Затем к числу A приписывают пятёрку в начало и получают четырёхзначное число B. Если число B кратно числу A, то эксперимент считается удачным.
Данный эксперимент повторяют столько раз, сколько единиц в двузначном числе, выбранном случайно в первый раз. Если, например, в первый раз было выбрано число 52, то эксперимент повторяют ещё два раза. При этом не имеет значения, был ли первый эксперимент удачным: всё равно даются дополнительные попытки.
Какова вероятность того, что эксперимент повторят ровно пять раз, и ровно две из пяти дополнительных попыток будут удачными?
Дайте ответ с округлением до тысячных долей процента.
Решение: Общее количество двузначных чисел (от 10 до 99 включительно) равно 90. Значит, всего число A может принимать 90 значений:
105 305 505 705 905
115 315 515 715 915
125 325 525 725 925
135 335 535 735 935
145 345 545 745 945
155 355 555 755 955
165 365 565 765 965
175 375 575 775 975
185 385 585 785 985
195 395 595 795 995
205 405 605 805
215 415 615 815
225 425 625 825
235 435 635 835
245 445 645 845
255 455 655 855
265 465 665 865
275 475 675 875
285 485 685 885
295 495 695 895
Число B, которое равно 5000 + A, также может принимать 90 значений. Чтобы 5000 + A было кратно A, необходимо, чтобы 5000 было кратно A. Можно обратить внимание, что из всех трёхзначных чисел, оканчивающихся на пятёрку, 5000 кратно только 125 и 625 (5000 / 125 = 40; 5000 / 625 = 9).
Значит, вероятность того, что отдельный эксперимент будет удачным, равна 2/90 или 1/45.
Эксперимент повторяют столько раз, сколько единиц в двузначном числе, которое мы случайным образом выбрали в первом эксперименте. Чтобы повторить его пять раз, необходимо, чтобы то самое двузначное число оканчивалось на пятёрку. Из 90 возможных двузначных чисел на пятёрку оканчиваются 9: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Значит, вероятность того, что в первый раз будет выбрано именно такое число, равна 9/90 или 0,1.
С вероятностью, равной 0,1, эксперимент будет повторён ровно пять раз. По формуле Бернулли вычислим, с какой вероятностью ровно два из пяти дополнительных экспериментов будут удачными:
Таким образом, искомая вероятность составит:
0,1 * 0,004616 = 0,0004616 или примерно 0,046%.
Ответ: 0,046%.