Девять карт и два конверта
Представьте, что Вам предложено принять участие в игре со следующими правилами. Есть девять игральных карт одной масти от шестёрки до туза, а также два конверта: синий и зелёный. Каждая карта "стоит" определённое количество очков, равное её номиналу ("валет" равен 11 очкам, "дама" - 12, "король" - 13, "туз" - 14).
Ведущий перемешивает карты и делит их случайным образом на две группы по четыре и пять карт соответственно, а затем кладёт их в конверты. Вы выбираете конверт, не зная, сколько там карт, и достаёте оттуда наугад одну карту. Вы выбрали синий конверт и достали оттуда десятку, то есть Вы заработали 10 очков.
Теперь в игру вступает Ваш оппонент: он тоже должен вытащить карту, но уже обязательно из другого конверта. Соответственно, он должен вытащить карту из зелёного конверта. Если он наберёт больше очков, чем Вы, то он выиграет, если меньше - то выиграете Вы. Улучшит или ухудшит, вероятнее всего, имеющийся результат Ваш оппонент, если известно, что после вынимания Вами карты из синего конверта, в нём лежат хотя бы три карты с последовательными номиналами, а также известно, что в каждом конверте есть пара карт с номиналами, отличающимися друг от друга в два раза?
Решение: Необходимо найти все возможные варианты расположения карт в конвертах, исходя из условий задачи.
Во-первых, так как в обоих конвертах есть пара карт, номиналы которых отличаются в два раза, это значит, что в одном конверте должны обязательно лежать "семёрка" и "туз" (7 очков и 14 очков), а в другом - "шестёрка" и "дама" (6 очков и 12 очков).
Во-вторых, известно, что в синем конверте помимо "десятки", должны ещё лежать хотя бы три карты с последовательными номиналами. Учитывая ограничение, о котором сказано выше, получим, что в этом конверте могут лежать карты со следующими номиналами:
7, 8, 9, 10, 14 (в зелёном - 6, 11, 12, 13);
Или второй вариант:
6, 10, 11, 12, 13 (в зелёном - 7, 8, 9, 14).
Других вариантов распределения карт по конвертам, удовлетворяющих всем условиям задачи, нет. Стоит отдельно отметить, что в синем конверте не может быть четыре карты, поскольку в таком случае для этого конверта невозможно выполнение двух условий одновременно.
Вычислим математическое ожидание числа очков в первом случае, когда в зелёном конверте лежат "шестёрка", "валет", "дама" и "король". Оно составит:
(6 + 11 + 12 + 13) / 4 = 10,5.
Во втором случае ("семёрка", "восьмёрка", "девятка" и "туз") эта величина будет равна:
(7 + 8 + 9 + 14) / 4 = 9,5.
Таким образом, среднее количество очков, которое можно набрать, вытащив карту из зелёного конверта, составит:
(10,5 + 9,5) / 2 = 20 / 2 = 10.
Следовательно, вытащив карту из зелёного конверта, можно с одинаковой вероятностью как улучшить, так и ухудшить результат в 10 очков. Другими словами, можно с одинаковой вероятностью набрать 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14 очков, то есть в среднем 10 очков, вытащив из зелёного конверта карту.
Ответ: с одинаковой вероятностью улучшит или ухудшит.