По квадратному полю ABCD, где AC - диагональ, ходит кот. Он начинает движение из точки A, проходит 500 метров в одном направлении и останавливается, после чего вновь продолжает движение: опять проходит 500 метров либо в том же направлении, либо в другом. И так далее.

​

На каждой точке остановки кот с равной вероятностью выбирает один из нескольких вариантов направлений дальнейшего движения следующим образом: он проходит 500 метров либо по любой стороне квадрата ABCD либо в направлении, параллельном любой стороне квадрата ABCD, но он не проходит два раза по одному и тому же отрезку пути, и он не выходит за границы квадрата ABCD. Также известно, что кот засыпает после того, как пройдёт 2 км.

​

Чему равна вероятность того, что кот дойдёт из точки A в точку C, не заснув, при условии, что площадь квадрата ABCD равна 1 квадратный км?

​

Решение: Во-первых, очевидно, что так как площадь квадрата ABCD равна 1 квадратный км, это значит, что его стороны равны 1 км или 1000 м.

​

Далее для наглядности изобразим чертёж (рисунок прилагается ниже). Точки A, B, C, D, E, F, G, H, M - точки возможных остановок кота. Точки E, F, G, H - это середины сторон квадрата, так как кот проходит за один отрезок пути 500 метров.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Чтобы не заснуть, коту нужно пройти 4 таких отрезка. Есть 6 вариантов пути с четырьмя отрезками, которые ведут к точке C:

​

AEMGC
AEMHC
AFMHC
AFMGC
AEBHC
AFDGC

​

Найдём вероятность прохождения котом каждого из 6 путей.

​

Вероятность того, что кот пойдёт по пути AEMGC, равна произведению вероятностей того, что кот последовательно пойдёт по отрезкам AE (вероятность равна 1/2, потому что из точки A только два пути), EM (вероятность равна 1/2), MG (вероятность равна 1/3), GC (вероятность равна 1/2). Следовательно, P(AEMGC) = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24

​

Аналогичным образом найдём вероятности других пяти путей:

​

P(AEMHC) = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P(AFMHC) = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P(AFMGC) = 1/2*1/2*1/3*1/2 = 1/24
P(AEBHC) = 1/2*1/2*1*1/2 = 1/8
P(AFDGC) = 1/2*1/2*1*1/2 = 1/8

​

Вероятность того, что кот дойдёт в точку C будет равна сумме полученных вероятностей, так как кот должен пойти по любому из шести вариантов пути.

Таким образом, искомая вероятность составит:

​

1/24 + 1/24 + 1/24 + 1/24 + 3/24 + 3/24 = 10/24 = 5/12

 

Ответ: 5/12.