Невнимательный покупатель пришёл в магазин, чтобы купить смартфон. Он выбрал нужную ему модель и подошёл к кассе, расплатившись за покупку только купюрами по 1000 и 50 рублей, поскольку других в кошельке у него не было. Но он так торопился, что всё перепутал: отдал столько тысячерублёвых купюр, сколько должен был отдать пятидесятирублёвых, и наоборот, в результате чего заплатил больше, чем надо. Кассир тоже не сразу обнаружил ошибку, но когда покупатель уже уходил, он остановил его и вернул переплаченную сумму. Если к этой сумме добавить ещё 50 рублей, то она составит половину от реальной стоимости аппарата.

Решение: Сколько стоил смартфон, если известно, что рассеянный покупатель никогда не носил в кошельке более 100 купюр?

​

Пусть x - количество тысячерублёвых купюр, отданных покупателем кассиру, а y - количество пятидесятирублёвых купюр. Тогда 1000x + 50y - это сумма, которую заплатил покупатель по ошибке, а 1000y + 50x - реальная стоимость устройства. Исходя из условий задачи, получим следующее уравнение:

1000x + 50y - (1000y + 50x) = 1/2*(1000y + 50x) - 50;
1000x + 50y - 1000y - 50x = 500y + 25x - 50;
925x = 1450y - 50;
925x - 1450y = -50;
58y - 37x = 2.

Получим линейное диофантово уравнение, которое нужно решить в целых числах (ведь x и y должны быть целыми числами):

-37x + 58y = 2

Множеством решений данного уравнения будет являться пара: 

x = 36 + 58k, y = 23 + 37k, где k - целое.

По условию задачи покупатель не мог носить в кошельке более 100 купюр, причём у него в кошельке в день покупки не было других купюр, кроме тысячерублёвых и пятидесятирублёвых. Следовательно, 0 < x + y <= 100.

Единственная пара чисел из множества решений уравнения, удовлетворяющая неравенству 0 < x + y <= 100, будет такой:

x = 36, y = 23.

Таким образом, реальная стоимость смартфона равна:

23*1000 + 36*50 = 24800 (руб.).

А покупатель заплатил:

36*1000 + 23*50 = 37150 (руб.), что на 12350 рублей больше реальной стоимости аппарата.

Ответ: 24800 рублей.