Бильярд и ставки
Два игрока в бильярд (Бывалый и Новичок) играют друг с другом несколько партий до пяти побед. Ничейный исход в партии невозможен. Перед каждой партией зрители делают ставки по 1000 рублей на победу того или другого игрока.
Коэффициенты на победу каждого игрока меняются после каждой партии. Они зависят от результатов предыдущих партий. Если на данный момент счёт по партиям ничейный (0:0, 1:1 и т.д.), то коэффициенты на победу игроков в следующей партии равные, причём равны они 2. Если же на данный момент кто-то кого-то опережает, то коэффициенты на победу меняются с шагом 0,2 за одно очко отрыва (в меньшую сторону для того, кто опережает, и в большую сторону для того, кто отстаёт).
В целом, как меняются коэффициенты можно увидеть в таблице ниже. Горизонтальные цифры от 0 до 4 означают количество партий, в которых игрок победил, вертикальные – количество партий, в которых игрок проиграл. На пересечении получаем коэффициент на его победу в следующей партии.
0 1 2 3 4
0 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2
1 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4
2 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6
3 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8
4 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0
Например, на данный момент счёт 3:1 в пользу Бывалого. Значит, коэффициент на его победу в следующей партии будет равен 1,6. Счёт 3:1 в пользу Бывалого означает, что Новичок проигрывает со счётом 1:3. Значит, коэффициент на победу Новичка в следующей партии будет равен 2,4. Таким образом, вместо 1000 рублей можно получить 1600 либо 2400.
Какую максимальную сумму можно выиграть, пока Бывалый и Новичок будут играть до пяти побед? Каким будет выигрыш, если Бывалый и Новичок будут играть до m побед, шаг изменения коэффициентов будет равен 1/m, а все остальные условия задачи останутся прежними?
Решение: Чтобы выиграть как можно больше денег, необходимо, чтобы игра длилась наибольшее количество партий (в данном случае, 9), и нужно постоянно угадывать со ставками. Рассмотрим два противоположных случая, когда игра затянется до 9 партий:
Ситуация №1. Допустим, сначала Бывалый будет выигрывать со счётом 0:4, но затем Новичок возьмёт у него 5 следующих партий.
I = Номер партии
II = Новичок
III = Бывалый
IV = Выигрыш
I II III IV
1 0 1 2000
2 0 2 1800
3 0 3 1600
4 0 4 1400
5 1 4 2800
6 2 4 2600
7 3 4 2400
8 4 4 2200
9 5 4 2000
Ситуация №2. Новичок и Бывалый будут "преследовать" друг друга:
I = Номер партии
II = Новичок
III = Бывалый
IV = Выигрыш
I II III IV
1 0 1 2000
2 1 2 2200
3 2 3 2000
4 2 4 2200
5 3 4 2000
6 3 4 2200
7 3 4 2000
8 4 4 2200
9 5 4 2000
Таким образом, общая сумма выигрыша в обоих случаях составит 18800 - 9*1000 = 9800 (рублей).
Можно заметить, что 9800 = 1400 + 1600 + 1800 + 2000 + 2000 + 2200 + 2400 + 2600 + 2800 – 9*1000 = 20000 – (2000 – 0,8*1000) – 9*1000 = 20000 – (2000 – (5 – 1)*(1/5)*1000) – 2*(5 – 1)*1000.
Следовательно, для задачи в общем случае, максимальный выигрыш будет таким:
4m*1000 – (2000 – (m – 1)*(1/m)*1000) – 1000*(2m - 1) = 4000m + (m – 1)*(1000/m) – 1000*(2m – 1) – 2000 (рублей).
Ответ: 9800 рублей; 4000m + (m – 1)*(1000/m) – 1000*(2m – 1) – 2000 рублей.