В чемпионате страны по футболу состоялся очередной матч. Явный фаворит и лидер лиги принимал на своём поле середняка первенства. Одна букмекерская контора перед матчем определила следующие коэффициенты на возможные исходы игры:

​

Победа фаворита – 1,25

Ничья – 2,00

Победа середняка – 2,50

​

По правилам букмекеров коэффициенты обновляются в онлайн-режиме каждые 10 минут игры до конца 80-ой минуты включительно, после чего по истечении следующей минуты оканчивается приём ставок (при этом добавленное время к первому тайму не учитывается). Обновление коэффициентов происходит по следующей схеме. По истечению каждых десяти минут игры коэффициент на тот исход, который на текущий момент отражён на табло, уменьшается на 0,1, а коэффициенты на другие исходы матча увеличиваются на 0,05. Таким образом, если в течение первых десяти минут игры счёт не открыт, то после окончания 10-ой минуты коэффициенты станут следующими:

​

Победа фаворита – 1,30

Ничья – 1,90

Победа середняка – 2,55

​

Также существует ещё один нюанс. Когда какая-нибудь команда забивает гол, то от текущего (на данную минуту) коэффициента на победу этой команды отнимается величина, равная остатку основного времени игры (округлённого до целого числа минут в меньшую сторону), делённому на 100. В то же время эта же величина прибавляется к текущему коэффициенту на победу команды, пропустившей гол. Текущий коэффициент на ничью в этот момент не меняется.

 

Также по правилам этой букмекерской конторы минимально возможное значение коэффициентов равно 1,05. Ниже этого показателя они не падают, то есть в случае достижения этого показателя, коэффициенты "замораживаются". Если после забитого гола получается коэффициент, меньший 1,05, то его значение принимается равным 1,05.

​

Середняк, вопреки первоначальным прогнозам и ожиданиям, забил единственный в этой игре гол. Это произошло до окончания приёма ставок. На какой минуте это случилось, если на момент окончания приёма ставок коэффициент на победу фаворита был больше, чем коэффициент на победу середняка на 0,6, а коэффициент на ничью равнялся 1,95?

​

Решение: Остаток основного времени игры определяется округлением до целого количества минут в меньшую сторону. Поэтому, обозначив через x номер минуты, на которой был забит гол, получим, что остаток основного времени игры равен 90 – x. 

Так как коэффициенты обновляются каждые 10 минут игры без учёта дополнительного времени к первому тайму, то всего до 80-ой минуты они обновлялись 8 раз. Фаворит ни разу за игру не вёл в счёте, поэтому коэффициент на его победу увеличивался каждые 10 минут на 0,05, и также после гола середняка он увеличился на величину, равную (90 – x) / 100. 

Коэффициент на победу середняка сначала тоже увеличивался каждые 10 минут на 0,05, пока счёт на табло был ничейным, а затем падал каждые 10 минут на 0,1. Обозначим через y количество увеличений коэффициента на победу середняка, тогда число его уменьшений равно 8 – y. Также надо помнить, что после гола этот коэффициент уменьшился на (90 – x) / 100.

Коэффициент на ничью падал на 0,1 столько раз, сколько коэффициент на победу середняка увеличивался на 0,05, и наоборот. 

На основании всего вышесказанного составим систему уравнений:

1,25 + 0,5*8 + (90 – x) / 100 – (2,5 + 0,05y – 0,1*(8 – y) – (90 – x) / 100) = 0,6;
2 – 0,1y + 0,05*(8 – y) = 1,95.

Решим второе уравнение системы, домножив обе его части на 100 для удобства вычислений:

200 – 10y + 5*(8 – y) = 195;
– 10y + 40 – 5y = –5;
y = 3.

Таким образом, первое уравнение системы примет следующий вид:

1,65 + (90 – x) / 100 – 2,15 + (90 – x) / 100 = 0,6.

Вновь домножим обе части на 100:

165 + (90 – x) – 215 + (90 – x) = 60;
180 – 2x = 110;
2x = 70;
x = 35.

Значит, гол был забит середняком на 35-ой минуте матча.

А полная картина обновлений коэффициентов до 80-ой минуты выглядит так (первый столбец – номер минуты; второй – победа фаворита; третий – ничья; четвёртый – победа середняка):

00   1,25   2,00   2,50
10   1,30   1,90   2,55
20   1,35   1,80   2,60
30   1,40   1,70   2,65
35   1,95   1,70   2,10
40   2,00   1,75   2,00
50   2,05   1,80   1,90
60   2,10   1,85   1,80
70   2,15   1,90   1,70
80   2,20   1,95   1,60

​

Ответ: на 35-ой минуте.