В стране N прошли выборы президента. На пост главы государства претендовало несколько кандидатов. Также можно было голосовать против всех кандидатов. По законам этой страны для победы в первом туре кандидат должен набрать 50 процентов голосов избирателей, пришедших на выборы, плюс 1 голос. 

За год до выборов рейтинг кандидата от партии власти составлял некое целое число процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции был равен этому же числу процентов, но взятому от суммы рейтингов всех кандидатов, кроме кандидата от партии власти. 

Каждый месяц рейтинги двух главных кандидатов менялись: рейтинг кандидата от партии власти терял по n процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции прибавлял по m процентов. Непосредственно перед голосованием рейтинг кандидата от партии власти был меньше рейтинга главного кандидата от оппозиции на 2 процента, а суммарный рейтинг двух основных кандидатов стал больше на 3 процента или на 2/3nm процентов. И такими были итоговые результаты выборов.

На выборы пришло ровно 1000000 человек. Победитель не был определён в первом туре, но известно, что если бы все избиратели, отдавшие свои голоса не за двух основных кандидатов, кроме тех граждан, которые голосовали против всех, проголосовали бы за главного кандидата от оппозиции, он бы смог набрать минимальное число голосов, позволяющее ему одержать победу в первом туре. Сколько избирателей проголосовало против всех?

​

Решение: Сначала найдём значения n и m. Исходя из условий задачи получим следующую систему уравнений:

​

3*(m – n) = 12

nm = 4,5

​

Другими словами:

​

m - n = 0,25

nm = 4,5

​

Решением системы уравнений являются две пары чисел: (2; 2,25) и (-2,25; -2). По смыслу задачи походит только первая пара. Значит, n = 2, m = 2,25.

 

Таким образом, за год рейтинг кандидата от партии власти (обозначим его как А) уменьшился на 24 процента (12*2), а рейтинг кандидата от оппозиции (кандидата Б) увеличился на 27 процентов (12*2,25). Составим и решим систему уравнений:

 

x – 24 – (y + 27) = 2;

y = x(100 – x) / 100.

​

Упростив выражения, получим:

 

x – y = 49

y = x(100 – x) / 100

 

Корнями этой системы уравнений являются две пары чисел: (-70; -119) и (70; 21).

 

По смыслу задачи подходит только вторая пара чисел, поскольку рейтинги – это неотрицательные числа, сумма которых не может превышать 100.

 

Значит, за год до выборов рейтинг А равнялся 71%, рейтинг Б – 20%. А в день выборов за А проголосовало 46% избирателей, которые не испортили бюллетени, а за Б – 48%.

 

Следовательно, за А проголосовало 460000 избирателей, за Б – 480000. Чтобы минимально победить в первом туре кандидату Б нужно было набрать ещё 20001 голос (500001 – 480000).

 

Значит, против всех проголосовало:

 

1000000 – 500001 – 480000 = 39999 (избирателей).

 

Ответ: 39999.

​