Представьте себе гипотетическую ситуацию. Некий банк предлагает Вам оформить у них вклад на сумму 100000 рублей по ставке 10% годовых с капитализацией процентов каждую секунду на 10 лет. Пополнять вклад нельзя. При этом через 10 лет Вы закроете вклад и заберёте деньги, но должны будете вернуть банку часть наращенной суммы, а именно 175000 рублей.
Стоит ли соглашаться на такое "вкусное" предложение банка с постоянной ежесекундной капитализацией процентов 10 лет подряд? Сможете ли Вы дать ответ на этот вопрос, не вычисляя сумму, которая у Вас накопиться через 10 лет? Наверняка, это миллионы рублей.
Давайте попытаемся разобраться, является ли предложение банка действительно "вкусным". Для этого нам не понадобиться точно вычислять сумму, которая у нас будет через 10 лет. Всё дело в том, что мы сможем примерно определить сумму, больше которой у нас гарантированно не накопиться через 10 лет.
Начнём с базовых понятий. Наращенная сумма при сложной процентной ставке ищется по формуле:
где P - начальная сумма, r - годовая процентная ставка, n - число лет, m - количество начислений процентов в год (частота капитализации процентов).
Будем считать для простоты, что в каждом году у нас по 365 дней. Тогда количество секунд в каждом году тоже будет одинаковым. В году 365 дней, в каждом дне 24 часа, в каждом часе 60 минут, в каждой минуте 60 секунд. Значит, в каждом году проценты капитализировались следующее количество раз: 365*24*60*60 = 31356000.
Таким образом, наращенная сумма будет равна:
Давайте посмотрим внимательно, что за выражение у нас получилось, не считая 100000 и знак умножения перед скобками. Это ни что иное, как второй замечательный предел, а именно:
Его значение при x, стремящемуся к бесконечности, равно числу e, математической константе, примерно равной 2,718.
Это значит, что чем больше количество капитализаций процентов, тем ближе выражение в скобках, возведённое в степень, равную этому самому количеству капитализаций будет к числу е, но никогда не превысит это самое число, даже не достигнет его. Следовательно, наращенная сумма через 10 лет будет меньше, чем 100000e. Другими словами, через 10 лет с учётом ежесекундного начисления процентов, в банке будет лежать менее 272000 рублей. Никакие не миллионы, и даже не миллион и не полмиллиона. И если мы отдаём банку 175000, то у нас остаётся менее 97000 рублей, значит, ещё меньше, чем было.
Mozgovarka напоминает читателям, что они также могут предложить свои статьи, заметки или задачи для публикации через форму обратной связи "Написать автору" на странице "О сайте".