МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И Т.Д.
№71. Три уровня сложности
На одной математической олимпиаде есть такое правило. Всего предлагается решить 30 задач разного уровня сложности. За решение одной лёгкой задачи засчитывается 3 балла, за решение задачи средней сложности - 5 баллов, за решение сложной задачи - 10 баллов. При этом за неверное решение одной лёгкой задачи с общего количества баллов снимается 1 балл, за неверное решение задачи средней сложности снимается 2 балла, за неверное решение сложной задачи снимается 4 балла.
Участник олимпиады решил все предложенные задачи, но оценочная комиссия признала, что верно были решены только некоторые задачи: половина всех лёгких задач, треть всех задач средней сложности и четверть всех сложных задач. Сколько задач каждого уровня сложности решил участник, если известно, что число баллов, которое он набрал (после вычета всех "штрафных" баллов), в 17 раз меньше максимально возможного количества баллов?
№72. Прогулка по двум этажам гостиницы
В одной гостинице на всех этажах одинаковое количество комнат. Нумерация комнат непрерывная с первой комнаты на первом этаже до последней комнаты на последнем этаже. На каждом этаже номера комнат следуют в порядке возрастания от первой комнаты на этаже до последней комнаты на этом же этаже, а на следующем этаже нумерация продолжается. То есть если этаж замыкает комната с номером m, то следующий этаж начинается с комнаты с номером m + 1.
Известно, что номер первой комнаты на третьем этаже меньше номера первой комнаты на предпоследнем этаже в 17 раз, а номер последней комнаты на третьем этаже меньше номера последней комнаты на предпоследнем этаже в 12 раз. Сколько всего комнат в гостинице?
№73. Два поезда и единицы измерения
Два поезда (пассажирский и грузовой) выехали одновременно из одной станции, направляясь в одинаковый конечный пункт. Известно, что средняя скорость движения пассажирского поезда, исчисляемая в километрах в час, численно равна времени, которое грузовой поезд провёл в пути, исчисляемому в минутах. Также известно, что расстояние от станции до конечного пункта исчисляется целым числом метров, а время, которое грузовой поезд провёл в пути, исчисляется целым числом минут.
Чему может быть равен минимально возможный путь от станции до конечного пункта, если известно, что пассажирский поезд приехал в конечный пункт на полчаса раньше грузового поезда?
№74. Максимально возможный выигрыш
Один везунчик принял участие в лотерее и выиграл денежный приз в размере некоторого целого пятизначного числа рублей. Последняя цифра этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма предпоследней и последней цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма третьей, четвёртой и пятой цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма второй, третьей, четвёртой и пятой цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма всех цифр этого числа тоже является квадратом некоторого целого числа.
Чему равен максимально возможный выигрыш?
№75. Треугольник с целыми параметрами
Есть треугольник, у которого длина каждой из сторон равна целому числу единиц, а его площадь равна целому квадратному числу единиц. Известно, что периметр данного треугольника равен 100, а площадь является минимально возможной.
Чему равен диаметр окружности, вписанной в этот треугольник?