МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И Т.Д.
№55. Двойная скидка
В одном магазине бытовой техники была акция на покупку электрического чайника. Его можно было купить по цене, на пятнадцать процентов меньшей, чем обычно. Более того, владельцы бонусных карт магазина могли приобрести этот чайник ещё со скидкой в десять процентов, правда, скидка по карте считалась уже от цены, предложенной по акции.
Когда один владелец такой бонусной карты купил чайник, он заплатил сумму, в записи которой с учётом копеек было шесть цифр, и среди этих шести цифр не было ни одной пары одинаковых. А если бы у него не было карты, и на покупку чайника не было бы акции, он смог бы расплатиться трёмя купюрами без сдачи, либо вообще одной купюрой, но при этом получить сдачу. При этом, разумеется, оплата товара в магазине возможна только в одной валюте - в рублях.
Какую сумму посетитель магазина заплатил за чайник, если известно, что в его кошельке не было ни одной пары купюр одинакового номинала?
№56. Квадратный парк
Территория детской площадки имеет форму прямоугольного треугольника, каждый катет которого имеет длину, равную целому числу метров. Неподалёку от детской площадки расположен парк, территория которого имеет форму квадрата со стороной, длина которой равна периметру детской площадки. При этом площадь парка больше площади детской площадки в целое число раз.
Чему равна максимально возможная площадь парка при максимально большом значении отношения площади парка к площади детской площадки, если известно, что парк окружают со всех сторон дороги, а площадь окружённой дорогами территории равна 7 га?
№57. Яблочный сок и коробки
На одном заводе по производству яблочного сока было произведено некоторое количество двухлитровых пачек. Эти пачки можно разложить в коробки для оптовой поставки в магазины или рестораны. На заводе есть девять типов коробок: в одни можно положить не более двух пачек сока, во вторые - не более трёх, в третьи - не более четырёх, в четвёртые - не более пяти, в пятые - не более шести, в шестые - не более семи, в седьмые - не более восьми, в восьмые - не более девяти, в девятые - не более десяти.
Известно, что если все произведённые пачки сока положить оптимально в одинаковые коробки любого типа, то обязательно одна коробка будет заполнена не до конца: в ней будет оставаться место ровно для одной пачки сока.
Какое минимальное количество пачек сока могло быть произведено?
№58. Четырежды квадратное число
Если поставить запятую после третьей цифры в одном натуральном шестизначном числе, можно получить два трёхзначных числа, произведение которых будет являться квадратом целого числа, отличного от нуля. Если поставить запятые после второй и четвёртой цифр в этом числе, можно получить три двузначных числа, произведение которых также будет являться квадратом целого числа, отличного от нуля. Если перемножить все цифры этого числа, то вновь получится квадрат целого числа, отличного от нуля. И если сложить все цифры этого числа, то опять получится квадрат целого числа, отличного от нуля.
Чему равно это число?
№59. Ежесекундная капитализация процентов
Представьте себе гипотетическую ситуацию. Некий банк предлагает Вам оформить у них вклад на сумму 100000 рублей по ставке 10% годовых с капитализацией процентов каждую секунду на 10 лет. Пополнять вклад нельзя. При этом через 10 лет Вы закроете вклад и заберёте деньги, но должны будете вернуть банку часть наращенной суммы, а именно 175000 рублей.
Стоит ли соглашаться на такое "вкусное" предложение банка с постоянной ежесекундной капитализацией процентов 10 лет подряд?
№61. Лесопарковая зона
Неподалёку от большого города находится обширная лесопарковая зона, которая представляет собой прямоугольник со сторонами, каждая из которых равна целому числу километров. Через некоторое время границы лесопарковой зоны были изменены: сама зона вновь образовывала прямоугольник, при этом меньшая сторона прямоугольника не изменилась, а к большей стороне прибавили столько километров, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах.
Чему равны минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в прежних границах, если известно, что площадь зоны в прежних границах составляет столько процентов от площади зоны в новых границах, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах?
№64. Квадраты из конфет
Кондитерская фабрика произвела одинаковое количество шоколадных конфет трёх видов. Конфеты с миндалём укладывались в коробки по 25 штук в каждую в виде квадрата (5 на 5 конфет). Аналогичным образом в виде квадрата в коробки укладывались конфеты с фундуком и с изюмом, только их в каждой коробке было 49 штук и 81 штука соответственно. После укладки в коробки всех произведённых конфет осталось по одной коробке конфет каждого вида с пустыми "вершинами" квадратов. Другими словами, для каждого вида конфет четырёх штук не хватило для заполнения последней коробки.
Какое минимальное количество конфет каждого вида могло быть произведено?
№65. Кот и квадрат
По квадратному полю ABCD, где AC - диагональ, ходит кот. Он начинает движение из точки A, проходит 500 метров в одном направлении и останавливается, после чего вновь продолжает движение: опять проходит 500 метров либо в том же направлении, либо в другом. И так далее.
На каждой точке остановки кот с равной вероятностью выбирает один из нескольких вариантов направлений дальнейшего движения следующим образом: он проходит 500 метров либо по любой стороне квадрата ABCD либо в направлении, параллельном любой стороне квадрата ABCD, но он не проходит два раза по одному и тому же отрезку пути, и он не выходит за границы квадрата ABCD. Также известно, что кот засыпает после того, как пройдёт 2 км.
Чему равна вероятность того, что кот дойдёт из точки A в точку C, не заснув, при условии, что площадь квадрата ABCD равна 1 квадратный км?
№66. Ноутбук и двойная сдача
В одном магазине компьютерной техники покупатель приобрёл ноутбук, который стоил некое целое пятизначное число рублей. Кассир ошибся и пробил цену ноутбука неверно: поменял местами цифры, стоящие на чётных позициях в числе (на второй и четвёртой). В результате этой ошибки покупатель получил сдачу в два раза больше, чем должен был получить.
Сколько стоил ноутбук, если известно, что покупатель расплатился только купюрами номиналами в 1000 рублей и 5000 рублей, и он отдал купюр номиналом в 1000 рублей вдвое больше, чем купюр, номиналом в 5000 рублей?
№ 68. Продажа недвижимости
Один хитрец решил купить дом за наличные и принёс владельцу дома чемодан с деньгами. Там были уложены в один "слой" пачки денег, при этом в каждой пачке было по одинаковому числу купюр. Хитрость заключалась в том, что в каждой пачке наверху лежала купюра номиналом в 5000 рублей, а ниже - только тысячерублёвые. Владелец дома думал, что в чемодане только пятитысячные купюры, однако сумма, которая лежала в чемодане, составляла лишь 21% от суммы, на которую рассчитывал продавец. При всём указанном выше известно также, что в чемодане лежала минимально возможная семизначная сумма.
По какой цене хотел продать дом владелец?