МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ: АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И Т.Д.
№22. Кафе-пекарня
В одном кафе-пекарне продают пироги с разной начинкой и по разным двузначным ценам. Как-то раз посетитель, который готовился к праздничному застолью, захотел купить a пирогов с картошкой по цене b*b рублей, b пирогов с мясом по цене c*c рублей, c пирогов с луком и яйцами по цене a*a рублей. Всего он набрал пирогов на трёхзначную сумму.
Когда он подошёл к кассе, то обнаружил, что в его кошельке есть только купюры, минимальный номинал которых равен 50 рублям. Расплатившись, он получил от кассира сдачу в один рубль.
Сколько всего пирогов было куплено, если известно, что если бы посетитель взял на один пирог с мясом меньше, то он бы мог расплатиться на кассе ровно двумя купюрами без сдачи?
№25. Смартфон
Невнимательный покупатель пришёл в магазин, чтобы купить смартфон. Он выбрал нужную ему модель и подошёл к кассе, расплатившись за покупку только купюрами по 1000 и 50 рублей, поскольку других в кошельке у него не было. Но он так торопился, что всё перепутал: отдал столько тысячерублёвых купюр, сколько должен был отдать пятидесятирублёвых, и наоборот, в результате чего заплатил больше, чем надо. Кассир тоже не сразу обнаружил ошибку, но когда покупатель уже уходил, он остановил его и вернул переплаченную сумму. Если к этой сумме добавить ещё 50 рублей, то она составит половину от реальной стоимости аппарата.
Сколько стоил смартфон, если известно, что рассеянный покупатель никогда не носил в кошельке более 100 купюр?
№28. Бильярд и ставки
Два игрока в бильярд (Бывалый и Новичок) играют друг с другом несколько партий до пяти побед. Ничейный исход в партии невозможен. Перед каждой партией зрители делают ставки по 1000 рублей на победу того или другого игрока.
Коэффициенты на победу каждого игрока меняются после каждой партии. Они зависят от результатов предыдущих партий. Если на данный момент счёт по партиям ничейный (0:0, 1:1 и т.д.), то коэффициенты на победу игроков в следующей партии равные, причём равны они 2. Если же на данный момент кто-то кого-то опережает, то коэффициенты на победу меняются с шагом 0,2 за одно очко отрыва (в меньшую сторону для того, кто опережает, и в большую сторону для того, кто отстаёт).
В целом, как меняются коэффициенты можно увидеть в таблице ниже. Горизонтальные цифры от 0 до 4 означают количество партий, в которых игрок победил, вертикальные – количество партий, в которых игрок проиграл. На пересечении получаем коэффициент на его победу в следующей партии.
0 1 2 3 4
0 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2
1 2,2 2,0 1,8 1,6 1,4
2 2,4 2,2 2,0 1,8 1,6
3 2,6 2,4 2,2 2,0 1,8
4 2,8 2,6 2,4 2,2 2,0
Например, на данный момент счёт 3:1 в пользу Бывалого. Значит, коэффициент на его победу в следующей партии будет равен 1,6. Счёт 3:1 в пользу Бывалого означает, что Новичок проигрывает со счётом 1:3. Значит, коэффициент на победу Новичка в следующей партии будет равен 2,4. Таким образом, вместо 1000 рублей можно получить 1600 либо 2400.
Какую максимальную сумму можно выиграть, пока Бывалый и Новичок будут играть до пяти побед? Каким будет выигрыш, если Бывалый и Новичок будут играть до m побед, шаг изменения коэффициентов будет равен 1/m, а все остальные условия задачи останутся прежними?
№33. Необычное расписание
Круглосуточные автобусы, следующие по одному маршруту, прибывают на остановку по странному расписанию: они подъезжают к станции только в такие моменты, когда на электронных часах появляются хотя бы три одинаковые цифры. Руководство автобусного парка решило исправить эту ситуацию. Теперь автобусы, идущие по этому маршруту, за сутки прибывают на остановку на один раз чаще, и между их прибытием одинаковый промежуток времени. Какой?
№40. Вопреки ожиданиям букмекеров
В чемпионате страны по футболу состоялся очередной матч. Явный фаворит и лидер лиги принимал на своём поле середняка первенства. Одна букмекерская контора перед матчем определила следующие коэффициенты на возможные исходы игры:
Победа фаворита – 1,25
Ничья – 2,00
Победа середняка – 2,50
По правилам букмекеров коэффициенты обновляются в онлайн-режиме каждые 10 минут игры до конца 80-ой минуты включительно, после чего по истечении следующей минуты оканчивается приём ставок (при этом добавленное время к первому тайму не учитывается). Обновление коэффициентов происходит по следующей схеме. По истечению каждых десяти минут игры коэффициент на тот исход, который на текущий момент отражён на табло, уменьшается на 0,1, а коэффициенты на другие исходы матча увеличиваются на 0,05. Таким образом, если в течение первых десяти минут игры счёт не открыт, то после окончания 10-ой минуты коэффициенты станут следующими:
Победа фаворита – 1,30
Ничья – 1,90
Победа середняка – 2,55
Также существует ещё один нюанс. Когда какая-нибудь команда забивает гол, то от текущего (на данную минуту) коэффициента на победу этой команды отнимается величина, равная остатку основного времени игры (округлённого до целого числа минут в меньшую сторону), делённому на 100. В то же время эта же величина прибавляется к текущему коэффициенту на победу команды, пропустившей гол. Текущий коэффициент на ничью в этот момент не меняется.
Также по правилам этой букмекерской конторы минимально возможное значение коэффициентов равно 1,05. Ниже этого показателя они не падают, то есть в случае достижения этого показателя, коэффициенты "замораживаются". Если после забитого гола получается коэффициент, меньший 1,05, то его значение принимается равным 1,05.
Середняк, вопреки первоначальным прогнозам и ожиданиям, забил единственный в этой игре гол. Это произошло до окончания приёма ставок. На какой минуте это случилось, если на момент окончания приёма ставок коэффициент на победу фаворита был больше, чем коэффициент на победу середняка на 0,6, а коэффициент на ничью равнялся 1,95?
№41. Параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед имеет объём, равный 100. К каждому его параметру (длине, ширине, высоте) прибавили произведение двух других его параметров, перемножили получившиеся суммы и получили некое значение, равное M. Потом каждый его параметр возвели в куб и умножили на произведение двух других параметров, и, сложив эти три произведения, получили величину, равную N. Если длину этого параллелепипеда умножить на ширину, ширину – на высоту, а высоту – на длину, затем каждое из этих произведений возвести в квадрат и сложить их, то полученная сумма будет равна некому числу K.
Чему равно значение выражения M – N – K?
№42. Вычёркивания и складывания
Три последовательных целых двузначных числа записали без пробелов и получили шестизначное число. В полученном числе вычеркнули каждую третью цифру (отсчитывая слева направо), после чего получили новое четырёхзначное число. Это четырёхзначное число разбили на два двузначных числа: первое состояло из первых двух цифр, второе - из последних. Эти два числа сложили и получили число, являющееся квадратом другого целого числа.
Какие три числа было изначально?
№43. Ящики и шары
В одной логической телевикторине участнику было дано задание. Если он его выполнит - выиграет приз. А суть задания в следующем: участника приводят в комнату, в которой лежат три ящика. В каждом ящике спрятано несколько шаров. Участнику нужно сказать, сколько шаров всего лежит во всех ящиках, т.е. назвать их общее число, не открывая ящики. При этом участник получает от ведущего следующую информацию: сумма шаров во всех трёх ящиках плюс произведение количеств шаров во всех трёх ящиках плюс произведения количеств шаров во всех возможных парах ящиков (из этой тройки) равно 98. Сколько шаров спрятано во всех трёх ящиках?