№61. Лесопарковая зона
Неподалёку от большого города находится обширная лесопарковая зона, которая представляет собой прямоугольник со сторонами, каждая из которых равна целому числу километров. Через некоторое время границы лесопарковой зоны были изменены: сама зона вновь образовывала прямоугольник, при этом меньшая сторона прямоугольника не изменилась, а к большей стороне прибавили столько километров, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах.
Чему равны минимально и максимально возможные площади лесопарковой зоны в прежних границах, если известно, что площадь зоны в прежних границах составляет столько процентов от площади зоны в новых границах, сколько квадратных километров составляла площадь зоны в прежних границах?
№63. Кворум, тесина
На листе бумаги записаны два слова:
КВОРУМ, ТЕСИНА
Известно, что одна из 12 букв, используемых при написании этих слов, является лишней. Её нужно найти и заменить другой буквой алфавита так, чтобы полученные буквы составляли бы совокупность букв, объединённых по определённому принципу. Какую замену необходимо произвести? И что объединяет буквы, полученные в результате замены?
№64. Квадраты из конфет
Кондитерская фабрика произвела одинаковое количество шоколадных конфет трёх видов. Конфеты с миндалём укладывались в коробки по 25 штук в каждую в виде квадрата (5 на 5 конфет). Аналогичным образом в виде квадрата в коробки укладывались конфеты с фундуком и с изюмом, только их в каждой коробке было 49 штук и 81 штука соответственно. После укладки в коробки всех произведённых конфет осталось по одной коробке конфет каждого вида с пустыми "вершинами" квадратов. Другими словами, для каждого вида конфет четырёх штук не хватило для заполнения последней коробки.
Какое минимальное количество конфет каждого вида могло быть произведено?
№65. Кот и квадрат
По квадратному полю ABCD, где AC - диагональ, ходит кот. Он начинает движение из точки A, проходит 500 метров в одном направлении и останавливается, после чего вновь продолжает движение: опять проходит 500 метров либо в том же направлении, либо в другом. И так далее.
На каждой точке остановки кот с равной вероятностью выбирает один из нескольких вариантов направлений дальнейшего движения следующим образом: он проходит 500 метров либо по любой стороне квадрата ABCD либо в направлении, параллельном любой стороне квадрата ABCD, но он не проходит два раза по одному и тому же отрезку пути, и он не выходит за границы квадрата ABCD. Также известно, что кот засыпает после того, как пройдёт 2 км.
Чему равна вероятность того, что кот дойдёт из точки A в точку C, не заснув, при условии, что площадь квадрата ABCD равна 1 квадратный км?
№67. Роман с разным количеством различных символов
В тексте некоторого романа используются хотя бы по одному разу все буквы и знаки препинания. Может ли быть так, что не будет ни одной буквы или знака препинания, которая будет встречаться в тексте романа столько же раз, сколько другая буква или знак препинания?
№66. Ноутбук и двойная сдача
В одном магазине компьютерной техники покупатель приобрёл ноутбук, который стоил некое целое пятизначное число рублей. Кассир ошибся и пробил цену ноутбука неверно: поменял местами цифры, стоящие на чётных позициях в числе (на второй и четвёртой). В результате этой ошибки покупатель получил сдачу в два раза больше, чем должен был получить.
Сколько стоил ноутбук, если известно, что покупатель расплатился только купюрами номиналами в 1000 рублей и 5000 рублей, и он отдал купюр номиналом в 1000 рублей вдвое больше, чем купюр, номиналом в 5000 рублей?
№68. Продажа недвижимости
Один хитрец решил купить дом за наличные и принёс владельцу дома чемодан с деньгами. Там были уложены в один "слой" пачки денег, при этом в каждой пачке было по одинаковому числу купюр. Хитрость заключалась в том, что в каждой пачке наверху лежала купюра номиналом в 5000 рублей, а ниже - только тысячерублёвые. Владелец дома думал, что в чемодане только пятитысячные купюры, однако сумма, которая лежала в чемодане, составляла лишь 21% от суммы, на которую рассчитывал продавец. При всём указанном выше известно также, что в чемодане лежала минимально возможная семизначная сумма.
По какой цене хотел продать дом владелец?
№71. Три уровня сложности
На одной математической олимпиаде есть такое правило. Всего предлагается решить 30 задач разного уровня сложности. За решение одной лёгкой задачи засчитывается 3 балла, за решение задачи средней сложности - 5 баллов, за решение сложной задачи - 10 баллов. При этом за неверное решение одной лёгкой задачи с общего количества баллов снимается 1 балл, за неверное решение задачи средней сложности снимается 2 балла, за неверное решение сложной задачи снимается 4 балла.
Участник олимпиады решил все предложенные задачи, но оценочная комиссия признала, что верно были решены только некоторые задачи: половина всех лёгких задач, треть всех задач средней сложности и четверть всех сложных задач. Сколько задач каждого уровня сложности решил участник, если известно, что число баллов, которое он набрал (после вычета всех "штрафных" баллов), в 17 раз меньше максимально возможного количества баллов?
№73. Два поезда и единицы измерения
Два поезда (пассажирский и грузовой) выехали одновременно из одной станции, направляясь в одинаковый конечный пункт. Известно, что средняя скорость движения пассажирского поезда, исчисляемая в километрах в час, численно равна времени, которое грузовой поезд провёл в пути, исчисляемому в минутах. Также известно, что расстояние от станции до конечного пункта исчисляется целым числом метров, а время, которое грузовой поезд провёл в пути, исчисляется целым числом минут.
Чему может быть равен минимально возможный путь от станции до конечного пункта, если известно, что пассажирский поезд приехал в конечный пункт на полчаса раньше грузового поезда?
№75. Треугольник с целыми параметрами
Есть треугольник, у которого длина каждой из сторон равна целому числу единиц, а его площадь равна целому квадратному числу единиц. Известно, что периметр данного треугольника равен 100, а площадь является минимально возможной.
Чему равен диаметр окружности, вписанной в этот треугольник?
№72. Прогулка по двум этажам гостиницы
В одной гостинице на всех этажах одинаковое количество комнат. Нумерация комнат непрерывная с первой комнаты на первом этаже до последней комнаты на последнем этаже. На каждом этаже номера комнат следуют в порядке возрастания от первой комнаты на этаже до последней комнаты на этом же этаже, а на следующем этаже нумерация продолжается. То есть если этаж замыкает комната с номером m, то следующий этаж начинается с комнаты с номером m + 1.
Известно, что номер первой комнаты на третьем этаже меньше номера первой комнаты на предпоследнем этаже в 17 раз, а номер последней комнаты на третьем этаже меньше номера последней комнаты на предпоследнем этаже в 12 раз. Сколько всего комнат в гостинице?
№74. Максимально возможный выигрыш
Один везунчик принял участие в лотерее и выиграл денежный приз в размере некоторого целого пятизначного числа рублей. Последняя цифра этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма предпоследней и последней цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма третьей, четвёртой и пятой цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма второй, третьей, четвёртой и пятой цифр этого числа является квадратом некоторого целого числа. Сумма всех цифр этого числа тоже является квадратом некоторого целого числа.
Чему равен максимально возможный выигрыш?
№76. Ровно три клетки
На бумаге нарисовано квадратное поле, состоящее из квадратных клеток одинакового размера (8 на 8). Каждая клетка закрашена в один из двух цветов: жёлтый и зелёный. Известно, что вокруг каждой жёлтой клетки есть ровно три зелёные клетки, которые имеют с этой жёлтой клеткой общую сторону.
Чему равно максимально возможное количество жёлтых клеток?
№77. Восемь тропинок
Парк состоит из восьми тропинок, вдоль четырёх тропинок расположено по 5 деревьев, вдоль других четырёх тропинок - по 4 дерева. Можно начать путь из любого места любой тропинки и пройтись по всем тропинкам, ни разу не пройдя дважды по одной тропинке (если не учитывать пересечения тропинок). Всего деревьев в парке 16.
Как могут быть расположены тропинки и деревья, если также известно, что некоторые тропинки пересекаются под прямыми углами, а схема расположения тропинок обладает свойствами симметрии?