№41. Параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед имеет объём, равный 100. К каждому его параметру (длине, ширине, высоте) прибавили произведение двух других его параметров, перемножили получившиеся суммы и получили некое значение, равное M. Потом каждый его параметр возвели в куб и умножили на произведение двух других параметров, и, сложив эти три произведения, получили величину, равную N. Если длину этого параллелепипеда умножить на ширину, ширину – на высоту, а высоту – на длину, затем каждое из этих произведений возвести в квадрат и сложить их, то полученная сумма будет равна некому числу K.
Чему равно значение выражения M – N – K?
№42. Вычёркивания и складывания
Три последовательных целых двузначных числа записали без пробелов и получили шестизначное число. В полученном числе вычеркнули каждую третью цифру (отсчитывая слева направо), после чего получили новое четырёхзначное число. Это четырёхзначное число разбили на два двузначных числа: первое состояло из первых двух цифр, второе - из последних. Эти два числа сложили и получили число, являющееся квадратом другого целого числа.
Какие три числа было изначально?
№43. Ящики и шары
В одной логической телевикторине участнику было дано задание. Если он его выполнит - выиграет приз. А суть задания в следующем: участника приводят в комнату, в которой лежат три ящика. В каждом ящике спрятано несколько шаров. Участнику нужно сказать, сколько шаров всего лежит во всех ящиках, т.е. назвать их общее число, не открывая ящики. При этом участник получает от ведущего следующую информацию: сумма шаров во всех трёх ящиках плюс произведение количеств шаров во всех трёх ящиках плюс произведения количеств шаров во всех возможных парах ящиков (из этой тройки) равно 98. Сколько шаров спрятано во всех трёх ящиках?
№45. Закупка хлеба
Одна столовая закупила в продуктовом магазине партию свежего хлеба. В этом магазине батон белого хлеба стоит на 10 рублей дороже буханки чёрного хлеба. Было куплено столько батонов белого хлеба, сколько рублей стоит буханка чёрного хлеба, а также столько буханок чёрного хлеба, сколько рублей стоит батон белого хлеба.
Представитель столовой расплатился двумя купюрами, получив сдачу размером в 2 рубля. Сколько было куплено батонов белого хлеба и буханок чёрного хлеба, если известно, что в кошельке у покупателя не было ни одной десятирублёвой купюры?
№47. Степенной код
Один учитель математики в школе написал на доске пять чисел и поставил знак вопроса:
1, 32, 729, 64, 625, ?
После этого он сказал ученикам:
– Я поставлю пятёрку в четверти тому, кто сможет сказать, какое число должно стоять на шестом месте.
Какое же число должно быть написано на доске вместо знака вопроса?
Примечание: существует два решения.
№49. Объём спортзала
Школьный спортзал имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Если перевести его габариты в метры, то получится, что эти величины будут являться целыми числами, а разность куба отношения длины к ширине и квадрата этого же отношения равна высоте, которая вдвое меньше суммы длины и ширины. Чему может быть равен минимальный объём этого спортзала?
№51. Одно слово меняет расклады
Представьте себе лотерею со следующими условиями. В мешке лежит 15 бочонков. Каждый бочонок имеет номер: 1, 2, 3, ... , 15. Каждый номер соответствует номеру сейфовой ячейки, в одной из которых лежит ключ от квартиры. Игрок должен вытянуть 2 бочонка из 15. Перед этим ведущий говорит игроку: «Вы можете открыть ячейки, имеющие те же номера, что и на бочонках, которые Вы сейчас вытяните из мешка».
Хитрый игрок вытащил из мешка 2 бочонка, посмотрел на номера на них и сказал ведущему: «Я могу заменить одно слово в той фразе, которую Вы мне сказали перед тем, как я вытянул эти бочонки, и этим увеличить шансы выиграть квартиру с 2/15 до 9/15».
Сколько возможных пар бочонков он мог вытащить?
№53. Смена пароля
Один математик зарегистрировался на форуме любителей головоломок. Он сделал паролем для авторизации на портале число, полученное по следующим правилам. Во-первых, в записи числа присутствовали только две различные цифры. Во-вторых, число было составлено двумя последовательными натуральными числами, записанными подряд в порядке возрастания без запятой и пробелов. При этом можно было взять сумму этих двух чисел, их произведение, отношение большего числа к меньшему, после чего перемножить эти три величины, извлечь из полученного значения квадратный корень и получить в итоге целое число.
Число, полученное таким образом математиком, являлось минимальным с подобными свойствами, принимая во внимание тот факт, что на форуме нельзя было использовать пароли с количеством символов менее четырёх. Но вскоре администрация форума увеличила минимальное количество символов для паролей, и математику пришлось менять свой пароль. Он взял число, полученное по точно таким же правилам, как и в первый раз, но только ближайшее большее. Только в этот он раз решил сделать паролем не само число, а сумму этого числа и числа, которое он использовал в качестве пароля в первый раз.
Какое число использовал в качестве пароля математик во второй раз?
№44. Арифметика на выборах
В стране N прошли выборы президента. На пост главы государства претендовало несколько кандидатов. Также можно было голосовать против всех кандидатов. По законам этой страны для победы в первом туре кандидат должен набрать 50 процентов голосов избирателей, пришедших на выборы, плюс 1 голос.
За год до выборов рейтинг кандидата от партии власти составлял некое целое число процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции был равен этому же числу процентов, но взятому от суммы рейтингов всех кандидатов, кроме кандидата от партии власти.
Каждый месяц рейтинги двух главных кандидатов менялись: рейтинг кандидата от партии власти терял по n процентов, а рейтинг главного кандидата от оппозиции прибавлял по m процентов. Непосредственно перед голосованием рейтинг кандидата от партии власти был меньше рейтинга главного кандидата от оппозиции на 2 процента, а суммарный рейтинг двух основных кандидатов стал больше на 3 процента или на 2/3nm процентов. И такими были итоговые результаты выборов.
На выборы пришло ровно 1000000 человек. Победитель не был определён в первом туре, но известно, что если бы все избиратели, отдавшие свои голоса не за двух основных кандидатов, кроме тех граждан, которые голосовали против всех, проголосовали бы за главного кандидата от оппозиции, он бы смог набрать минимальное число голосов, позволяющее ему одержать победу в первом туре. Сколько избирателей проголосовало против всех?
№48. Найти седьмое число
Дана последовательность, заданная по определённому правилу. Нам известны первые шесть чисел:
4, 6, 12, 16, 15, 17, ...
Чему равно следующее число? По какому правилу задана эта последовательность?
Подсказка: правило, по которому задана эта последовательность, можно описать двумя ключевыми словами: «куб» и «буквы».
№50. Переворачивая числа
На калькуляторе можно набрать числа, которые обладают таким свойством, что если перевернуть экран устройства, то вновь можно будет прочитать некое число. Сколько можно набрать подобных целых неотрицательных чисел на стандартном калькуляторе с экраном, вмещающим 8 цифр?
Примечание: имеется в виду, что если перевернуть "600", то число прочитать не получится, т.е. запись "009" нельзя прочитать как "9".
№52. Триллион из четырёх цифр
В одном магазине электроники устроили акцию. Можно приобрести новую модель смартфона по цене со скидкой в 25 процентов, если назвать цену устройства без скидки. На коробке со смартфоном нет ценника, но есть текст с подсказкой следующего содержания: "цена данного товара в рублях равна сумме всех четырёхзначных чисел, сумма цифр которых при возведении в степень, равную произведению этих же цифр, равна одному триллиону".
Один покупатель назвал это значение и получил смартфон со скидкой. Какую сумму он заплатил на кассе?
№54. Игры с числом N
В одном натуральном числе N убрали первую цифру и получили число, в котором m цифр, среди которых нет ни одной повторяющейся, и если цифры нового числа расположить в порядке возрастания или убывания, то каждый член такой последовательности, кроме первого, будет отличаться от предыдущего на единицу.
Затем к первоначальному числу N приписали в начало такую же цифру, которая стояла на первой позиции в числе N. Созданное таким способом новое число умножили на число N и опять получили число с точно такими же свойствами, как и число, полученное в первый раз, только теперь число цифр в новом числе равнялось m .
Чему равно число N?
№55. Двойная скидка
В одном магазине бытовой техники была акция на покупку электрического чайника. Его можно было купить по цене, на пятнадцать процентов меньшей, чем обычно. Более того, владельцы бонусных карт магазина могли приобрести этот чайник ещё со скидкой в десять процентов, правда, скидка по карте считалась уже от цены, предложенной по акции.
Когда один владелец такой бонусной карты купил чайник, он заплатил сумму, в записи которой с учётом копеек было шесть цифр, и среди этих шести цифр не было ни одной пары одинаковых. А если бы у него не было карты, и на покупку чайника не было бы акции, он смог бы расплатиться трёмя купюрами без сдачи, либо вообще одной купюрой, но при этом получить сдачу. При этом, разумеется, оплата товара в магазине возможна только в одной валюте - в рублях.
Какую сумму посетитель магазина заплатил за чайник, если известно, что в его кошельке не было ни одной пары купюр одинакового номинала?
№57. Яблочный сок и коробки
На одном заводе по производству яблочного сока было произведено некоторое количество двухлитровых пачек. Эти пачки можно разложить в коробки для оптовой поставки в магазины или рестораны. На заводе есть девять типов коробок: в одни можно положить не более двух пачек сока, во вторые - не более трёх, в третьи - не более четырёх, в четвёртые - не более пяти, в пятые - не более шести, в шестые - не более семи, в седьмые - не более восьми, в восьмые - не более девяти, в девятые - не более десяти.
Известно, что если все произведённые пачки сока положить оптимально в одинаковые коробки любого типа, то обязательно одна коробка будет заполнена не до конца: в ней будет оставаться место ровно для одной пачки сока.
Какое минимальное количество пачек сока могло быть произведено?
№60. Шесть кружков
Представьте, что на столе лежат шесть кружков, вырезанных из картона (как на рисунке слева). Кружки можно перемещать только по столу, двигая пальцем только один кружок, не задевая при этом остальные ни пальцем, ни кружком, который перемещается.
Как ровно за три таких перемещения получить шестиугольник из кружков, аналогичный тому, что на рисунке справа, при условии, что перемещать один и тот же кружок более одного раза нельзя?
№56. Квадратный парк
Территория детской площадки имеет форму прямоугольного треугольника, каждый катет которого имеет длину, равную целому числу метров. Неподалёку от детской площадки расположен парк, территория которого имеет форму квадрата со стороной, длина которой равна периметру детской площадки. При этом площадь парка больше площади детской площадки в целое число раз.
Чему равна максимально возможная площадь парка при максимально большом значении отношения площади парка к площади детской площадки, если известно, что парк окружают со всех сторон дороги, а площадь окружённой дорогами территории равна 7 га?
№58. Четырежды квадратное число
Если поставить запятую после третьей цифры в одном натуральном шестизначном числе, можно получить два трёхзначных числа, произведение которых будет являться квадратом целого числа, отличного от нуля. Если поставить запятые после второй и четвёртой цифр в этом числе, можно получить три двузначных числа, произведение которых также будет являться квадратом целого числа, отличного от нуля. Если перемножить все цифры этого числа, то вновь получится квадрат целого числа, отличного от нуля. И если сложить все цифры этого числа, то опять получится квадрат целого числа, отличного от нуля.
Чему равно это число?
№59. Ежесекундная капитализация процентов
Представьте себе гипотетическую ситуацию. Некий банк предлагает Вам оформить у них вклад на сумму 100000 рублей по ставке 10% годовых с капитализацией процентов каждую секунду на 10 лет. Пополнять вклад нельзя. При этом через 10 лет Вы закроете вклад и заберёте деньги, но должны будете вернуть банку часть наращенной суммы, а именно 175000 рублей.
Стоит ли соглашаться на такое "вкусное" предложение банка с постоянной ежесекундной капитализацией процентов 10 лет подряд?